数学の記事一覧

10/06

最近、数学がもつ価値について、昔自分が抱いていたものとはまた違った意見が自分の中で芽生えてきている。
それをここに記していこうと思う。

今、世界は急激に形を変えようとしている。
その変化に対応できない人間は、かなり苦しい情勢を強いられるだろう。
仮想通貨やValuなど、新たなシステムが経済の構造ががらっと変えようとしている岐路にいます。残念ながら、今まで通りの王道しか認めない生き方は、これからは危ないあり方になってきそうです。そういった状態を僕らは認め、これからこの変化に対応した世の中をどう築いていけるかを考えることが人類にとってかなり重要だと考えています。
つまり、僕ら個人としては、世の中の仕組み自体がこれからガラッと変わっていくので、その変化に振り回されずに、対応できる力をつけなければならい。
その変化に対応するために効果的なのが、数学の学習なのではないかと思うんです。

数学は、中学校に入ってから高校3年に至るまで、たくさんの考え方、技術を短期間に習得し、自分の思考力と合わせて問題を解決していきます。新しいコンセプトを学び、練習や工夫を繰り返すことにより、そのコンセプトを自分のものにして、色んな問題にぶち当たっても、試行錯誤を繰り返し問題を解決していく。
こういった作業ができるのは、数学だけなんですよね。

数学って、確かに一見社会的には意味のない作業のような気がするのですが、よく考えてみてください。
もし、あなたが新たな仕事に就いた時、まず最初にやることはなんでしょう?
まず、どんな仕事をしなければならないか教わり、それを覚えますよね?必死にできるだけ早く周りの人に質問しなくても済むように仕事を覚えます。で、そこからまたより効率的な仕事の仕方を考えたり、よりよい結果を出せるように努力しますよね。
これって、実は数学の流れそのまんまなんです。

日本の数学では、その単元の最初の授業で、新たなコンセプトに対する説明があります。
そこから、その教わった技術を使って習得する練習をします。
そこから、その技術を使って、考え方を鍛える問題を解きます。
この流れが徹底され、最後には、色んな単元が一つの問題に組み込まれたりして、それを解くのに試行錯誤することになるんです。

数学は、ただ数字の計算をするのではない。
数字は、ただ数学を学びやすくするための一つの道具なんです。

どのぐらい反復練習すると自分のものとして技術の習得できるかなどの、技術の習得の仕方を学べる。
目の前にある問題を分析し、解決方法を見出そうと考える力を育てる。

この2つの能力を身に付けようとすると、数学という学問は最適なんですよね。
そして、こういった力をより多くの人が身に付けるようになることで、変化についていける柔軟な考え方を身に付けられたりして、今起こっている世の中の変な混乱の数が減っていくんじゃないかって考えているんです。

そういった視点に立って、これからも数学を教えていきたい。
数学ができる人が増えると世界が平和になるという視点に立つと、やっぱり英語で数学を教えられることは、僕にとってすごく重要なんですよね。
まぁ、僕の勝手な思い込みかもしれませんが(笑)
少なくとも、世の中に数学好きを一人でも多く生み出していくことを目標に、しばらく教育活動をしていこうと思っています。

英語のテスト、さっさと受かって、早いとこ正規の教員にならねば・・・。



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12/01

小学校で「3.9+5.1=9.0」と回答したら減点になったっていう記事を最近よく見る。

http://news.yahoo.co.jp/pickup/6222523


これについて、文科省は「教員の裁量」という回答を出しているようです。

数学を2か国で教えた経験がある人間として、このあたりの僕なりの見解を述べたいと思う。

日本では、小学校では、数学を専攻としない人も算数を教えます。
もちろんそれは普通なことで、小数点の計算を教えるのに因数分解や微分積分の知識などいらないわけで、そのレベルの知識がなくても教えられるわけなんです。
だから、日本に限らず、数学が専攻ではない人が算数を教えることは、どの国でも普通です。

正直なところ、数学的に言ったら、9.0も9も正解です。
ただ、授業でどのように教わっているのか、授業で教員が意図した答え方で答えてくれているか、そういったところを文科省は考慮し「裁量」としたんだと思います。
正直、こういったものがこんなに大きな問題になるのは、インターネットの発達が原因で、インターネットが発達する前は、もっといい加減な部分もあったと思います。
10÷0=0って、平気で教えている小学校があったことも知っています。

でも、ここで、その専攻の先生とそうでない先生の差について話しておこうかと。
数学専攻の先生であれば、9.0でも9でも正解とするでしょう。
ただ、数学を専攻としていない先生に対して、この細かいところを拾い上げ「こんなのおかしい!」って大問題にすること自体、ちょっとかわいそうな気がするんです。

たとえば、僕がもし小学校の先生になったら、自分が苦手な歴史や国語などを教えなければならない。
とすると、僕が仮に歴史上の人物名をテストで出したとして、それを採点するときに、その人物に別名があったとしたら、そして僕はそれを知らなかったとしたら・・・僕には教科書に載っている名前でしか正解として取り扱えないんですよね。
僕の知識なんて、歴史ヲタクの小学生にかなわない程度しかないんですから。

その視点からすると、教科書に載っている通りに、もしくは、教えたとおりに解いてもらえないと評価しようがなかったりします。
もちろん長年勤めている経験がある先生はそんなことはないでしょうし、一つ一つしっかり勉強されている方はそんな教え方はしないのかもしれませんが、仮に僕が専攻以外の教科を教えるとしたらこうなってしまうかなぁって思います。なので、仮に僕で娘の担任の先生が9.0に対して減点してしまったら、小声で「先生、これも正解ですよ」って伝えてあげると思います。

もちろん教えている先生にも、自分の間違っている部分を正す素直な気持ちは必要だと思います。でも、僕が読んだ記事を見ると、テストで減点になったことだけをクローズアップされていて、その後その先生とどんなやり取りがあったかが書かれていない。つまり「この先生こんな○付けしてる!」って思った親が、写真を撮ってアップしたんじゃないかと。
その一か所だけつまんで批判するんじゃなくて、どんな流れだったかをしっかり把握して記事にしてほしいなぁって思います。

ただ、この採点方法に関してですが、中学数学でそれをやってしまったら少し問題だとは思います。

僕が中学生の時、歴史のテストでこんなことがありました。
学校では「韓国」と教わったところを、僕は自分が使っていた参考書に「朝鮮」と書いてあったので、そっちの答えを書きました。歴史に無頓着だった自分には、その違いがよく分かってなかったので。
で、その先生はテストを返す時に
「どこで学んだかは知りませんが、韓国と私が教えたところを朝鮮と書いている人が数人いました。出題文の取り方によっては間違ってはいないので正解にはしましたが、私には理由があってそう教えているので、個人的にはできれば韓国と答えてほしいです。」と言っていたのを思い出しました。

これがプロフェッショナルであり、芯の通った教科指導の在り方なのかと。
9.0で不正解であるのであれば、それが不正解とした意図をしっかり説明する義務があるとは思います。
ただ、そのレベルを個々の教科に求めていいのは、やはり中学校の数学からかなぁ、って思います。

といった意味では、実はNZのインターミディエートの数学も日本の中学校のようになるべきなんではないかなぁって思ったりしています。
もう少し、高校寄りの授業スタイルを重視させた方がいい。
重要なのは数学を純粋に楽しませること。
生徒が自ら学べるぐらい数学を面白く教えること、これが重要なんです。

ということで、NZの数学にも触れておきたいと思います。
NZが英語圏で数学が一番できない国になってしまった。
僕は、勝手にこの現状を「神様が僕にくれた課題」と認識しています(笑)

https://nzlife.net/archives/13636

理由ははっきりしています。

教育委員会の方針がどんなものなのか、現場にいて全く把握できないんです。
また、教育委員会の方々が推進する数学の授業の形自体にも私は疑問を感じます。

教育委員会の人が、教授型の数学の授業を「古い形」として批判している場面に出くわしました。
批判されているのは、素晴らしい授業をしている先生の授業です。
生徒は全員躍起になって問題を解き、目をキラキラさせながら先生から出された問題を解いています。
生徒はみんなその先生の授業を楽しいと言っている。
その先生が教えている生徒は、みんなしっかり数学を理解している。
しかし、その先生の授業を「古い形」としてNZの教育委員会から派遣された職員は一蹴してしまったんです。

そして、批判対象に合わなかった先生方の授業は、端末で数学ゲームをさせたり、音楽を聴きながら問題を解いたりなど、家でできる作業をわざわざ授業の中に入れ込み、生徒が個々に学ぶシステムを構築した先生の授業でした。
こういう授業をしている先生方は、みんな研修に通ったりして新しいことをしっかり取り入れ、NZが理想とする形に近づけようとまじめに頑張っている先生方です。

先生方が研修で何を教わってきているのか・・・僕はまるで「9.0で減点された生徒の親」のような気持ちを抱いています(笑)

NZの算数教育を取り仕切っている人に、数学を学ぶ利点をもう一度考えてほしいなぁって思います。
現場は相当混乱していますよ。
よかったら僕が力を貸しますよ!

IELTS受かってませんけど(笑)




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09/26

最近日本の大学を受験する生徒を指導しているので、日本の大学受験数学についてかなり復習している。
とは言っても、半分以上趣味の世界(笑)
やっていると、わくわくしてしまって、ずっと止まらず数学をやり続けてしまう。

ここで今自分の生徒が学んでいる微分積分がどれだけ世の中の仕組みを知るのに重要なのかという点に注目したいと思う。

正直、微分積分を世の中に出て実際に使っている人はごくわずかだと思う。
というか、ほとんどの人は微分積分を学んだところで仕事の役に立たない。
でも、微分積分というのは、人間の思考回路の発達を促す絶好の手段だと自分は思う。

数学が苦手な人のためにも書いているので、詳しいところは割愛しますが、簡単な説明だけしようと思う。

微分というのは、大雑把に言うと、式の次数(Xの上についている小さい数字。「Xの2乗」であれば、次数は2です。)を一つ下げる作業。
積分というのは、式の時数を一つ上げる作業。

つまり、微分の作業の逆が積分になる。
ただ、言ってみれば、人間が勝手にそれを微分積分と名付けているだけで、本質的な作業は一緒なんだよね。
ここでポイントになるのは、次数を下げる微分の計算のほうが、次数を上げる積分よりも、人間の脳にとって考えやすい。
だったら、微分の計算を先にたくさんやって、その逆の作業の積分を学ぶと学びやすい。

これが微分積分の学習の流れです。

微分の学習を終え、初めて積分を習う生徒が、目の前にある式を(例えば3x^2+2x+1)を積分せよ、と言われたら。
①今まで習った微分の逆だから、微分したらこの式になるようにすればいいんだ。
②微分は、次数をあるルールの下に下げていったんだから、そのルールをさかのぼって考えればいい。

という頭の中の回路になる。

結果的に、今ある姿をもとにして、本来ある姿に戻すために、微分の巻き戻しをイメージして計算を進めていく。

この「逆戻し」が、人間の思考能力の向上に役に立つんですよね。
目の前にあるなんともない風景があったとしても、そのなんともない風景は、過去にどんな姿で、どんな経緯でそんな風景になったのだろうか。
そんなことを考える力が育つ。

ここでいう逆戻しについては、小学校の掛け算を習った後の割り算や、足し算を利用して引き算を考えるなど、基本的な四則演算でも使うことができる。
しかし、その程度複雑さの逆戻しには、そこまでのインパクトはない。
実生活に十分に利用されるような逆戻し力はここでは身につきにくい気がします。

数学で逆戻し力を必要とするのが、中学3年生から学び始める展開と因数分解。
展開を多く学び、展開の逆戻しである因数分解へとつなげる。

「逆戻し力」

逆戻しをしやすいように、今目の前にある式を変形する。
そんな作業も入ってくるので、単純なようで、割と複雑です。
ただ、その作業も、単純に逆戻しをさせるための布石なんですけどね。

あ、そうそう、数学=複雑という固定概念をもった人が多いことに最近気づいたので、その印象を変えるために次回は、数学における「単純と複雑」について説明しようと思います。

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08/22

ニュージーランドの学校で数学を教え始めて、いろいろなことに気付く。

日本では、受験という枠組みがあるから仕方なく数学を勉強する生徒が多い。
僕は、数学が昔から好きだったから、いやいや数学を学んだ記憶がない。
でも、数学を教えていると、ため息をつきながら授業に入る生徒がたくさんいることがわかる。

僕は今までも、自分が数学に対して抱いている気持ちを、そのまま伝えたいと思って授業をしてきた。
数学の授業=楽しい
これを常に目指して、最終的には
数学=できる
できる=楽しい
という形にもっていく、これがおおざっぱだが、自分の授業のスタイルである。

しかし、NZに来てから、数学がもっと純粋に面白いということに改めて気づかされた。
日本では、受験までに終わらせなければならないことがたくさんあるので、掘り下げて教えられる時間があまりない。
それに関していうと、NZは受験という縛りが、高校のNCEAやケンブリッヂという大学入学資格を得るためのテストまで、存在せず、教える範囲を自由に拡大できたりする。そのおかげで、日本にいるときよりも、数学に魅力を感じる授業ができるようになってきている。
でも、逆に受験というプレッシャーがないと、日々の細かな鍛錬がおろそかになりがちになってしまう側面もある。
しかし、人類の歴史が始まってから、人は数学の魅力に魅了され続けている。
そこには理由があるからなんです。
数学的な力が優れている、劣っているなんて関係なく、全ての人に数学は楽しめるようにできているはずだと思うんです。

そんなことを考えているときに、ふと「数学に対する魅力を存分に生徒に味わってもらいながらも鍛錬もできる授業がしたい。」と思うようになった。
これをホリデープログラムで実現したい、そう今強く思っている。
嫁さんには「英語の勉強が最優先でしょ!マラソンもあるんだし。」と言われているので、全てを両立させないとこれは実現しない。
でも、生徒の目がきらきらするような、そんな数学の授業がしたい!

ということで、自分独自の数学ホリデープログラム組むことにしました。
まだまだ骨組みすらあまり決まっていないし、英語の勉強や子育てに時間がとられ、準備に時間がかけられなくて、実現できるかは不明ですが、取り組み始めました。
内容としては
「基礎の数字の計算から連立方程式までの代数(アルジブラ)と関数(ファンクション)」
に今回は絞ってみようかと思っています。
その中でも、できれば、日本の小学校でならう面積の求め方などをうまく利用して、楽しく数学の魅力を探求できたら。
そんなことを思っています。

もし、そんなプログラムがあるのなら、参加したい(year 7 8 9 ぐらいが対象ですね)、させたいという方がいましたら、ぜひ連絡ください。
反響によっては、急ピッチで準備に入ります。

さて、実現できるように、英語の勉強も頑張らねば。
これから英語の勉強を頑張ります!
では。



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03/05

ここのところで、NZの数学の教科書をたくさんいただいたので、数学の勉強を始めています。

高校の範囲は、受験や教員採用試験以来勉強していないので、忘れている部分も多々あり、変な汗をかきながら、復習をしています。
でも、やっぱり数学が面白くて仕方ない。
夢中になってしまい、ついつい時間を忘れ、家事がおろそかになっているのは・・・内緒です(笑)

やはり、数学に対しての考え方は違えど、数学は数学、興味をそそられるし、日本とは違うアプローチがあったりすると「ほ〜!」と一人で唸ったりしています。

やはり、教科書のレベルで見ても、日本のほうが癖があり、解くのも難しいと思う。
でも、NZの数学も立派な数学なんだよなぁ。

例えてみれば、日本の数学は「こってり豚骨味」で、NZの数学は「あっさり塩味」なんですよ。

日本の数学は、一つのことを徹底的に極めるという国民性と、受験ビジネスが絶妙なハーモニーを奏で、すごく難しいんです。
難関私大の受験数学なんて、こってり豚骨にスープが見えないぐらい背油をのせた感じです。

でも、その受験数学は、結局のところ「高校までで習った数学の技術だけを使い、最大限に難しくした数学」なんです。
大学に入って、本物の数学に触れたとき、今まで学んでいたのは何なの?と言いたいぐらいぶっ飛んだものにいきなりぶち当たります。

大学時代、幾何学の授業で教授が出した問題に、大学受験の知識を最大限に駆使して解いて見せた。
で、自慢げに黒板にその回答を書いたら、その教授に
「こいつは幼稚な数学だ。」と鼻で笑われた。
その時はすごく腹が立ったが、残念ながら、その教授の書いた模範解答は、俺のものよりもずっとスマートだった。


一方、NZの数学は、基礎のエッセンスをしっかり学ばせれば、それでいいんじゃね?という、あっさりしたものです。
解き方さえわかってしまえば、計算機に頼ったっていいんです。問題が解けりゃそれでいいんだから。
という感じ。
NZの数学で、一つ、よく言えば「効率的」、悪く言えば「無残」な一面があります。
それは、高校の最後の2年間での数学の難易度が、異常なほど上がるということ。
最後の2年間で、数学を選択できる生徒とできない生徒、完全にここでふるいにかけるんです。
数学がなんとなくできる生徒は、ここで完全にふるいから落とされます。
数学大好き!数学得意!と言う生徒のみを抽出する仕組みになっている感じですね。

やっている内容自体は、そこまで「こってり豚骨」ではないのですが、今まで11年間、のんびり数学を習っていたのに、いきなりジャンプアップして発展に・・・加速度が激しすぎて、これじゃぁ数学あきらめたくもなるわな、って僕から見ても思えるほどです。

で、総括して。

日本の数学も、NZの数学も、どっちもありかなって思うんです。

日本は、結局、激しくこってりした受験数学を潜り抜けても、その数学は、大学数学では幼稚だといわれる。
逆に、NZは、最後の2年間、死に物狂いで生き抜いて、その加速度を維持したまま大学数学に入る。

どーせ大学数学には、高校レベルの数学を発展させたぐらいじゃ歯が立たないんだから、数学の基礎さえわかってりゃ、どちらでもいいのかなって。
大学は、入ることがゴールじゃなく、そこで苦しんで学ぶことに意義があるわけだしね。
(↑ここね、日本のシステムをちょっと皮肉ってます)

ただ、僕は、個人的に「こってり豚骨」のほうが、心を満たし、癖にさせる力が強いので、日本の数学のほうが好きかなぁ。
でも、ここまでこってりばっかりだったので、NZの「あっさり塩味」の数学も、新鮮で面白いと正直思っています。

そんなこんなで、計算機の使い方もマスターしないと、こっちの数学の先生にはなれそうもないので、これから頑張って計算機に慣れなきゃなぁ(笑)

あー、ラーメン食いたくなってきた(^^;)



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